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[導讀]升壓拓撲結構在功率電子領域非常重要,但是電感值的選擇並不總是像通常假設的那樣簡單。在dc-dc升壓轉換器中,所選電感值會影響輸入電流紋波、輸出電容大小和瞬態響應。選擇正確的電感值有助於優化轉換器尺寸與成本,並確保在所需的導通模式下工作。本文講述的是在一定範圍的輸入電壓下,計算電感...

升壓拓撲結構在功率電子領域非常重要,但是電感值的選擇並不總是像通常假設的那樣簡單。在 dc - dc 升壓轉換器中,所選電感值會影響輸入電流紋波、輸出電容大小和瞬態響應。選擇正確的電感值有助於優化轉換器尺寸與成本,並確保在所需的導通模式下工作。本文講述的是在一定範圍的輸入電壓下,計算電感值以維持所需紋波電流和所選導通模式的方法,並介紹了一種用於計算輸入電壓上限和下限模式邊界的數學方法。
 

 





導通模式


升壓轉換器的導通模式由相對於直流輸入電流 (IIN) 的電感紋波電流峯峯值 (ΔIL) 的大小決定。這個比率可定義為電感紋波係數 (KRF)。電感越高,紋波電流和 KRF 就越低。

  (1) , 其中    (2)
 
在連續導通模式 (CCM) 中,正常開關週期內,瞬時電感電流不會達到零 (圖1)。因此,當 ΔIL 小於 IIN 的2倍或 KRF <2時,CCM 維持不變。MOSFET 或二極管必須以 CCM 導通。這種模式通常適用於中等功率和高功率轉換器,以最大限度地降低元件中電流的峯值和均方根值。當 KRF > 2 且每個開關週期內都允許電感電流衰減到零時,會出現非連續導通模式 (DCM) (圖2)。直到下一個開關週期開始前,電感電流保持為零,二極管和 MOSFET 都不導通。這一非導通時間即稱為 tidle。DCM 可提供更低的電感值,並避免輸出二極管反向恢復損耗。
 


圖1 – CCM 運行
  

圖2 – DCM 運行


當 KRF = 2 時,轉換器被認為處於臨界導通模式 (CrCM) 或邊界導通模式 (BCM)。在這種模式下,電感電流在週期結束時達到零,正如 MOSFET 會在下一週期開始時導通。對於需要一定範圍輸入電壓 ( VIN)的應用,固定頻率轉換器通常在設計上能夠在最大負載的情況下在指定 VIN 範圍內,以所需要的單一導通模式 (CCM 或 DCM) 工作。隨着負載減少,CCM 轉換器最終將進入 DCM 工作。在給定 VIN 下,使導通模式發生變化的負載就是臨界負載(ICRIT)。在給定 VIN 下,引發 CrCM / BCM 的電感值被稱為臨界電感(LCRIT),通常發生於最大負載的情況下。





紋波電流與 VIN


眾所周知,當輸入電壓為輸出電壓 (VOUT) 的一半時,即佔空比 (D) 為50%時 (圖3),在連續導通模式下以固定輸出電壓工作的 DC-DC 升壓轉換器的電感紋波電流最大值就會出現。這可以通過數學方式來表示,即設置紋波電流相對於 D 的導數 (切線的斜率) 等於零,並對 D 求解。簡單起見,假定轉換器能效為100%。
 
根據 
  (3)、  (4) 和   (5),
 
並通過 CCM 或 CrCM 的電感伏秒平衡
  (6),
 
則 
  (7).
 
將導數設置為零,   
  (8)
我們就能得出 
  (9).  
 

圖3 – CCM 中的電感紋波電流





CCM 工作


為了選擇 CCM 升壓轉換器的電感值 (L),需要選擇最高 KRF 值,確保整個輸入電壓範圍內都能夠以 CCM 工作,並避免峯值電流受 MOSFET、二極管和輸出電容影響。然後計算得出最小電感值。KRF 最高值通常選在0.3和0.6之間,但對於 CCM 可以高達2.0。如前所述,當 D = 0.5 時,出現紋波電流 ΔIL 最大值。那麼,多少佔空比的情況下會出現 KRF 最大值呢?我們可以通過派生方法來求得。

假設 η = 100%, 則 
  (10),  
 
然後將(2)、(6)、(7) 和 (10) 代入(1) ,得出:
 
 (11)                          
 
  (12).  
 
對 D 求解,可得
  (13).

D = 1 這一偽解可被忽略,因為它在穩態下實際上是不可能出現的 (對於升壓轉換器,佔空比必須小於1.0)。因此,當 D =⅓ 或 VIN = ⅔VOUT 時的紋波因數 KRF 最高,如圖4所示。使用同樣的方法還能得出在同一點的最大值 LMIN、LCRIT 和 ICRIT
 

圖4 – 當 D =⅓ 時 CCM 紋波係數 KRF 最高值

 
對於 CCM 工作,最小電感值 (LMIN)應在最接近 ⅔ VOUT 的實際工作輸入電壓 (VIN(CCM)) 下進行計算。根據應用的具體輸入電壓範圍,VIN(CCM) 可能出現在最小 VIN、最大 VIN、或其間的某個位置。解方程 (5) 求 L,並根據 VIN(CCM) 下的 KRF 重新計算,可得出

  (14),其中 VIN(CCM) 為最接近⅔VOUT 的實際工作 VIN。  
   
對於臨界電感與 VIN 和 I
OUT 的變化,KRF = 2,可得出
 
  (15).
 
在給定 VIN 和 L 值的條件下,當 KRF = 2時,即出現臨界負載 (ICRIT):
 
  (16)
 




DCM 工作 


如圖5所示,在一定工作 VIN 和輸出電流 (IOUT) 下的電感值小於 LCRIT 時,DCM 模式工作保持不變。對於 DCM 轉換器,可選擇最短的空閒時間以確保整個輸入電壓範圍內均為 DCM 工作。tidle 最小值通常為開關週期的3%-5%,但可能會更長,代價是器件峯值電流升高。然後採用 tidle 最小值來計算最大電感值 (LMAX)。LMAX 必須低於 VIN 範圍內的最低 LCRIT。對於給定的 VIN,電感值等於 LCRIT (tidle= 0) 時引發 CrCM。
 

圖5 – LCRIT 與標準化 VIN 的變化

 
為計算所選最小空閒時間 (tidle(min)) 的 LMAX,首先使用 DCM 伏秒平衡方程求出 tON(max) (所允許的 MOSFET 導通時間最大值) 與 VIN 的函數,其中 tdis 為電感放電時間。
 
  (17),其中

   (18)
 
可得出
 
  (19).
 
平均 (直流) 電感電流等於轉換器直流輸入電流,通過重新排列 (17),可得出 tdis 相對於 tON 的函數。簡單起見,我們將再次假設 PIN = POUT
 
  (20) ,其中  (21).
 
將方程 (3)、(5)、(10)、(19) 和 (21) 代入 (20),求得 VIN (DCM) 下的 L
 
  (22).
 
LMAX 遵循類似於 LCRIT 的曲線,且同在 VIN = ⅔VOUT 時達到峯值。為確保最小 tidle,要計算與此工作點相反的實際工作輸入電壓 (VIN (DCM)) 下的最低 LMAX 值。根據應用的實際輸入電壓範圍,VIN(DCM) 將等於最小或最大工作 VIN。若整體輸入電壓範圍高於或低於 ⅔ VOUT(含⅔ VOUT),則 VIN(DCM) 是距 ⅔ VOUT 最遠的輸入電壓。若輸入電壓範圍覆蓋到了 ⅔ VOUT,則在最小和最大 VIN 處計算電感,並選擇較低 (最差情況下) 的電感值。或者,以圖表方式對 VIN 進行評估,以確定最差情況。
 




輸入電壓模式邊界 


當升壓轉換器的輸出電流小於 ICRIT 與 VIN 的最大值時,如果輸入電壓增加到高於上限模式邊界或下降到低於下限模式邊界,即 IOUT 大於 ICRIT 時,則將引發 CCM 工作。而 DCM 工作則發生於兩個 VIN 的模式邊界之間,即 IOUT 小於 ICRIT 時。要想以圖表方式呈現 VIN 下的這些導通模式邊界,在相同圖表中繪製臨界負載 (使用所選電感器) 與輸入電壓和相關輸出電流的變化曲線。然後在 X 軸上找到與兩條曲線相交的兩個 VIN 值 (圖6)。
 

圖6 – 輸入電壓模式邊界

 
要想以代數方式呈現 VIN 的模式邊界,首先將臨界負載的表達式設置為等於相關輸出電流,以查找交點:
 
  (23).
 
這可以重寫為一個三次方程,KCM 可通過常數計算得出
 
  (24)     其中

  (25).
 
這裏,三次方程通式 x3 ax2 bx c = 0 的三個解可通過三次方程的三角函數解法得出 [1] [2]。在此情況下,x1 項的“b”係數為零。我們將解定義為矢量 VMB
 
我們知道
 
  (26)、  

    (27)、   以及

  (28),
 
    (29).
 
由於升壓轉換器的物理限制,任何 VMB ≤ 0或VMB > VOUT 的解均可忽略。兩個正解均為模式邊界處 VIN 的有效值。
 




模式邊界 – 設計示例 


我們假設一個具有以下規格的 DCM 升壓轉換器:
 
VOUT  = 12 V
IOUT  = 1 A
L  = 6 μH
FSW  = 100 kHz
 
首先,通過 (25) 和 (28) 計算得出 KCM 和 θ:
 

 
.
 
將 VOUT 和計算所得的 θ 值代入 (29),得出模式邊界處的 VIN 值:
 
.
 
忽略偽解 (-3.36 V),我們在 4.95 V 和 10.40 V 得到兩個輸入電壓模式邊界。這些計算值與圖7所示的交點相符。
 

圖7 – 計算得出的模式邊界





結論 


電感值會影響升壓轉換器的諸多方面,若選擇不當,可能會導致成本過高、尺寸過大、或性能不佳。通過了解電感值、紋波電流、佔空比和導通模式之間的關係,設計人員就能夠確保輸入電壓範圍內的所需性能。
 




參考文獻 


[1] H. W. Turnbull, Theory of Equations, Chapter IX, Edinburgh
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